Fase minima
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Fase minima
Nelle discussioni sull'equalizzazione ed in particolare sull'equalizzazione applicata al tentativo di migliorare la risposta acustica di una stanza, spesso affiora il termine “fase minima”, che generalmente rientra in un contesto che definisce se l’equalizzazione può o non può essere usata con successo per risolvere un problema di risposta. Quindi, che cos’è la “fase minima” e perchè dovremmo preoccuparcene?
Esistono formule matematiche rigorose e definizioni della teoria dei sistemi che definiscono cosa costituisce un sistema a fase minima, ma non lo ripeterò in questa sede. Nel contesto delle misure acustiche, un sistema a fase minima, possiede due importanti proprietà: introduce il minor ritardo temporale ai segnali che lo attraversano e può essere invertito.
Fase minima e Tempo di ritardo
La proprietà "lowest time delay" (più basso tempo di ritardo), si riferisce alla quantità di ritardo delle componenti in frequenza di un segnale, durante l'erogazione della risposta in frequenza misurata (SPL). Possiamo vedere le caratteristiche del ritardo, direttamente nel grafico del ritardo di gruppo (Group Delay) del sistema. Data una risposta in frequenza misurata, non siamo in grado di stabilire dalla sola risposta SPL, se ciò che abbiamo rilevato possiede la caratteristica di “ritardo minimo”. Se da qualche parte nel sistema, esistesse un ritardo temporale complessivo come quello impiegato dal suono per viaggiare dall’altoparlante al microfono, quel ritardo renderebbe il sistema non a fase minima (nel senso stretto del termine) ma non altererebbe la risposta SPL che abbiamo misurato.
Un ritardo temporale, causa uno sfasamento che aumenta con la frequenza. Per esempio, un ritardo di appena 1ms, produce uno sfasamento di 36 gradi a 100Hz, ma lo sfasamento diventa di 3600 gradi a 10kHz, poichè 1ms è 1/10 del periodo di 10ms di un segnale a 100Hz ed è 10 volte il periodo di 0,1ms di un segnale a 10kHz, e ogni periodo è di 360 gradi.
Lo sfasamento causato da un ritardo temporale, è lineare con la frequenza. Ciò significa per esempio, che 1ms di ritardo produrrà uno sfasamento di 36 gradi a 100Hz, 2 ms a 200Hz, 3ms a 300Hz e così via. Se l’asse della frequenza è impostato su lineare, il diagramma di fase di un ritardo, si presenterà come una linea retta che decresce all’aumentare della frequenza. Quanto ripidamente questa decresce, è determinato da quanto grande è il ritardo.
Sebbene i ritardi costanti rendano difficile interpretare la risposta di fase, la loro rimozione dalle nostre misure, non causerà nessun problema con l’applicazione dell’EQ. Tuttavia, la loro semplice rimozione (o il loro effetto), non è sufficiente a rendere un sistema a fase minima ma c'è molto di più...
Fase minima e Invertibilità
I sistemi a fase minima possono essere invertiti. Il che significa che un filtro può essere progettato in modo che, se applicato al sistema, produca una risposta piatta e corregga la risposta di fase allo stesso tempo. Questa è chiaramente una proprietà interessante da ricercare se vogliamo applicare l’EQ. Se applichiamo l’EQ ad un sistema che non è a fase minima, o più in particolare in una regione che non è a fase minima, l’EQ non produrrà i risultati sperati. Infatti, la correzione della risposta di fase per tentare di ottenere una risposta piatta, semplicemente non è possibile.
Un semplice esempio di qualcosa che renda l’idea di una risposta a fase non-minima, è rappresentato dalle riflessioni quando sono grandi o più grandi del segnale diretto (le riflessioni lungo percorsi differenti ma con la stessa lunghezza, possono combinarsi per produrre livelli più alti, o le superfici curve, possono focalizzare una riflessione). Nel caso semplice di una riflessione che ha esattamente la stessa ampiezza del segnale diretto, troveremmo delle frequenze regolarmente distanziate alle quali la riflessione è sfasata di 180° rispetto al suono diretto. Quando questi segnali si combinano, il risultato produce un'ampiezza zero a quelle frequenze (un esempio estremo del filtraggio a pettine spesso incontrato nelle misure acustiche). Tale livello zero, non potrà essere ripristinato al suo valore iniziale da nessuna quantità di EQ, poichè questa, agendo equamente sia sul segnale diretto che su quello riflesso, continuerebbe a provocarne la cancellazione. Se una risposta contiene regioni che sono a zero, questa non può essere invertita e non è a fase minima. Nel caso in cui la riflessione sia maggiore del suono diretto, il problema sarà altrettanto complicato poichè, anche se non avessimo più un livello zero, ci troveremmo nella situazione in cui le correzioni applicate dall'EQ dovrebbero continuare ad aumentare per contrastare l'entità della riflessione che sarebbe sempre più grande, riducendo rapidamente lo spazio di headroom.
Identificazione delle regioni a fase minima
Le risposte di una stanza, sono a fase mista. Ciò significa che ci sono alcune regioni a fase minima e altre che non sono a fase minima. Le regioni a fase minima, tendono a manifestarsi a bassa frequenza ma non possiamo semplicemente dire che una risposta è a fase minima al di sotto di un limite specifico. Non è possibile identificare regioni a fase minima semplicemente guardando la risposta della fase "wrapped", specialmente se la misura ha un ritardo temporale. La risposta "unwrapped" invece, fornisce un maggior numero di indizi, tracciati rispetto ad un asse di frequenza lineare, ma spesso copre un intervallo talmente grande, da risultare poco pratico da utilizzare. Anche se dovessimo eliminare qualsiasi ritardo temporale nella misura, la sola risposta di fase non ci consentirebbe ancora di identificare facilmente le regioni a fase minima. Esiste tuttavia un metodo semplice. Qui sotto è riportata la misura di un sistema sub + altoparlanti principali, all'interno di una stanza:
Potremmo azzardare l'ipotesi che si tratti principalmente di fase minima al di sotto della frequenza di transizione della stanza e di fase non minima al di sopra, ma per evitare congetture, diamo un’occhiata al ritardo di gruppo. Il grafico del ritardo di gruppo ci mostra di quanto ciascuna frequenza viene ritardata. Matematicamente è la pendenza del grafico della fase "unwrapped", così ovunque quella fase decresce linearmente, corrisponde ad una regione con ritardo di gruppo costante (cioè quella regione è ritardata da una quantità di tempo costante). Nell’immagine il grafico del ritardo di gruppo relativo alla misura:
Guardando un pò più da vicino, possiamo ipotizzare che nei luoghi in cui ci sono oscillazioni particolarmente rilevanti nel ritardo di gruppo, questi non sono a fase minima, ma questo non ci consente ancora di identificare facilmente le regioni a fase minima. Per fare ciò, dobbiamo comparare la misura, con un sistema che ha stessa risposta in ampiezza ma è a fase minima e osservare il ritardo di gruppo in eccesso. La risposta a fase minima è generata utilizzando l’ampiezza della misura e calcolando da essa la corrispondente fase minima, utilizzando una relazione matematica tra le due che vale per i sistemi a fase minima. Osservando la differenza tra la fase misurata e quella minima (la fase in eccesso) e misurando la pendenza di tale differenza per trovare il ritardo di gruppo in eccesso, otterremo questo grafico:
Ora, abbiamo qualcosa su cui poter lavorare. In ogni punto del grafico in cui il ritardo di gruppo in eccesso è piatto, siamo in presenza di una regione della risposta a fase minima. Possiamo vedere che ci sono regioni anche a frequenze molto basse, dove la risposta non è a fase minima, per esempio tra 44 e 56Hz. Queste generalmente corrispondono a regioni in cui si registrano forti cali nella risposta e sottolineano gli scarsi risultati ottenuti, quando si tenta di correggere tali regioni con un EQ. D'altra parte, i picchi a bassa frequenza si trovano generalmente in regioni a fase minima e il grafico è piuttosto piatto nella regione dei 28Hz e dei 60Hz, che lascia ben sperare ad una positiva applicazione dell’equalizzazione. In generale, i picchi nella risposta, sono il risultato di caratteristiche che sono correggibili attraverso l’equalizzazione (parlando tecnicamente, sono dovuti ai poli della risposta e l’equalizzatore può inserire degli zeri che annullano tali poli).
Ci sono regioni a frequenze relativamente alte che sono a fase minima, ad esempio tra 300 e 500Hz, che nonostante le repentine variazioni della risposta in quell’area, rendono possibile l’applicazione dell’equalizzazione. Tuttavia, dobbiamo ricordare che la misura è valida solo per la posizione del microfono in cui tale misurazione è stata eseguita, e al crescere della frequenza, la risposta cambia più rapidamente mentre il microfono si muove. L’EQ, che sembra dare buoni risultati nella posizione originale nella quale è stata eseguita la misura, può dare pessimi risultati in altre posizioni. Per questo è importante controllare dove saranno posizionati gli ascoltatori. Regolazioni dell’EQ a banda stretta, non dovrebbero essere utilizzate al di fuori dell'intervallo modale. Maggiore è la frequenza, maggiore deve essere la regolazione dell’EQ necessaria, per avere qualche possibilità di essere utile al di fuori di una regione molto piccola.
Per inciso, il grafico del ritardo di gruppo in eccesso, mostra anche chiaramente la presenza di uno sfasamento temporale tra il subwoofer e gli altoparlanti principali, con il sub in ritardo di circa 25ms, ma questo non è così evidente dal grafico complessivo del ritardo di gruppo. Il grafico del ritardo di gruppo in eccesso, è utile per l’allineamento temporale degli altoparlanti.
Una causa comune del comportamento a fase non-minima nelle stanze
Se i sistemi a fase minima sono collegati in cascata (collegati in serie), il sistema risultante sarà ancora a fase minima: le funzioni di trasferimento di ciascuno di essi, saranno moltiplicate tra loro e questo manterrà le caratteristiche di fase minima. Riguardo al paragrafo sull’invertibilità sopra citato, i sistemi a fase minima non avranno in alcun modo ampiezza zero e moltiplicando tra loro dei valori diversi da zero, non genereranno un valore zero. Tuttavia, aggiungendo le risposte dei sistemi a fase minima, si otterrà un risultato che titpicamente non è a fase minima, su tutta la risposta. Se ci sono aree in cui le risposte dei sistemi che stiamo aggiungendo, sono uguali in ampiezza ma opposte di fase, la loro somma sarà pari a zero. Qui vediamo il problema relativo alle risposte della stanza, perchè la risposta della stanza che misuriamo è composta dalla somma di molte risposte differenti dovute al suono che si irradia nella stanza e che si riflette sulle sue superfici. Ciò vale anche alle frequenze più basse, come possiamo vedere in seguito.
Modi assiali in una stanza rettangolare
Per fornire un semplice esempio di come la somma dei segnali in una stanza, possa renderla a fase non-minima, anche alle basse frequenza, possiamo dare un’occhiata al comportamento dei modi assiali in una stanza perfettamente rettangolare. Tali risultati sono facilmente ripetibili (in questo caso utilizzando il semplice tool per la simulazione modale di cui REW dispone), fornendoci un insieme ben controllata di risposte da studiare. Per le risposte al di sotto delle dimensioni della stanza che sono di 7.00 x 6.86 x 3.43m, ci viene fornita una distribuzione dei modi sulla lunghezza ogni 24.5Hz, sulla larghezza ogni 25Hz e sull’altezza ogni 50Hz. La sorgente è posta contro la parete frontale, a 0.25m dalla parete di sinistra e a 0.15m dal pavimento. Il microfono è posto a 1.5m dalla parete posteriore, a 4.28m dal muro di sinistra e a 1m dal pavimento. Le superfici della stanza hanno un assorbimento uniforme pari a 0.20 a tutte le frequenze.
I primi grafici mostrano la singola SPL e le risposte di fase di ciascun asse. Sono tutti perfettamente a fase minima e quindi la fase in eccesso (rappresentata dalla linea nera), è piatta e rimane a zero. Un asse di frequenza lineare, viene utilizzato per visualizzare più facilmente gli effetti modali, che sono linearmente distribuiti in frequenza.
A seguire, la risposta combinata, che mostra la fase minima in grigio e in eccesso in nero, seguita dal grafico del ritardo di gruppo in eccesso:
La risposta, non è più interamente a fase minima in nessun punto dell'intervallo come possiamo vedere dalla fase in eccesso, ma devia drasticamente nella zona tra 70 e 120Hz. A 110Hz, dove c'è un forte calo nella risposta, vi è un forte picco nel ritardo di gruppo in eccesso. Tentare di equalizzare la risposta in questa regione, sarebbe insensato e, anche nelle regioni in cui la risposta è lontana dalla fase minima, potremmo non ottenere i risultati sperati suggerendoci che sarebbe meglio evitare di pensare a prospettive di equalizzazione. E' probabile che anche le regioni a fase non-minima mostrino una maggiore variazione con la posizione e siano maggiormente interessate dai cambiamenti che avvengono all’interno della stanza, poichè un cambiamento che influenza uno qualsiasi dei segnali che si sommano alla risposta nella regione di fase minima, possono alterarne notevolmente il comportamento. L’aspetto positivo è dato dai trattamenti acustici a banda larga, il cui intervento è comunque efficace, sia nelle stanze a fase minima che a fase non-minima.
Nota: i risultati dell’EQ previsti, che REW mostra nella sua finestra, sono ottenuti applicando i filtri scelti alla risposta all’impulso misurata e includono gli effetti del comportamento a fase non-minima, in modo da ritrarre accuratamente i risultati che si sarebbero ottenuti nel punto in cui la misura è stata effettuata.
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